Question

|f'(x)|≤M|f(x)|,f(0)=0，求证f(x)恒等于0

高等数学、数学分析题：函数f(x)的定义域为R，存在常数M＞0，使得|f'(x)|≤M|f(x)|在R上恒成立，f(0)=0，求证：f(x)在R上恒等于0？
请各位数学大神帮忙解答，谢谢！

Answer 1

M=0时显然成立，下面考虑M>0的情况
先证明一个命题：对于满足 f(x)在(-∞，+∞)上可微，且｜f'(x)｜≤M｜f(x)｜的f(x)，若f(a)=0，则在[a-1/(2M)，a+1/(2M)]上，f(x)≡0
f(x)在[a-1/(2M)，a+1/(2M)]上有最大最小值，故|f(x)|在[a-1/(2M)，a+1/(2M)]上有最大值，设最大值为A≥0，|f(c)|=A
A=|f(c)|=|f(a)+f'(ξ)(c-a)|=|f'(ξ)||c-a|≤M|f(ξ)||c-a|≤M×A×1/(2M)=A/2 (其中ξ在a和c之间)
所以A=0，知道在[a-1/(2M)，a+1/(2M)]上，f(x)≡0。
由已知f(0)=0，所以[-1/(2M)，1/(2M)]上，f(x)≡0
拓展：[-1/M，1/M]上，f(x)≡0
再拓展：[-3/(2M)，3/(2M)]上，f(x)≡0
慢慢地拓展到全部实数域上。

Answer 2

将b转为以x,建立辅助函数：F ( x ) = ∫ f(t) d t - M/2 * ( x -a )² （上限是x,下限是a)
F(a)=0,连续两次求导利用已知条件判断F（x)大于0就得证

追问

不好意思你的答案解答的是这个问题“若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,|f'(x)|小于等于M,f(a)=0,求证:f(x)dx在[a,b]上的定积分小于等于(b-a)的平方乘以M除以2”,不是我的这个题目。