Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b为常数,且a不等于0)满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根

（1）求f(x)的表达式
（2）是否存在实数m,n（m小于n），使f(x)的定义域和值域分别是〔m,n〕和〔3m,3n〕，如果存在。求出m,n的值，如果不存在，说明理由

Answer 1

1。
由f(-x+5)=f(x-3)可知对称轴为 x=1 所以b/(-2a)=1 b=-2a; 因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根 显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2 所以f(x)=-1/2x^2+x

2。
f(x)=-1/2x^2+x=-1/2(x-1)^2+1/2

分别讨论：
若1=<m<n 有函数的单调性可知(函数在[m,n]单减)：
3m=f(n)=-1/2n^2+n 3n=-1/2m^2+m
两式子相减得到3(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=8则n=8-m带入得到 m^2-8m+48=0 其中Δ<0,故m，n无解；
若m<n<=1 又单调性(函数在[m,n]单增)知 3m=-1/2m^2+m 3n=-1/2n^2+n
得到m(m+4)=0,n(n+4)=0

此时m=-4 n=0满足条件(舍去m=0,n=-4)；
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/2；
所以 3n=1/2 所以 n=1/6 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m，n
其中m=-4 n=0

Answer 2

解：（一）因[(-x+5)+(x-3)]/2=1.故抛物线f(x)=ax²+bx的对称轴为x=1,即-b/(2a)=1.===>b=-2a.方程f(x)=x.即ax²-(2a+1)x=0有等根，故⊿=(2a+1)²=0.===>a=-1/2.b=1.故f(x)=(-1/2)x²+x=(-1/2)(x-1)²+(1/2).(二）由f(x)=(-1/2)(x-1)²+(1/2)可知，函数f(x)max=1/2,且在(-∞,1]上递增。故若符合题设的m,n存在，则3m＜3n≤1/2.===>m＜n≤1/6＜1.故在[m,n]上，函数f(x)递增，故由题设应有f(m)=3m,f(n)=3n.即m,n是方程f(x)=3x的两个不同的根。f(x)=3x.===>(-1/2)x²+x=3x.===>x²+4x=0.===>x1=0,x2=-4.取m=-4,n=0,则m,n符合题设。