Question

证明：当n是奇数时，3|2^n+1;当n是偶数时，3不能整除2^n+1

Answer 1

n为奇数时，令n=2k+1，(k∈N)
2ⁿ+1=2²ᵏ⁺¹+1
=2·4ᵏ+1
k=0时，2·4ᵏ+1=3，能被3整除
k≥1时，
2·4ᵏ+1=2·(3+1)ᵏ+1
=2·[C(k，0)·3ᵏ+C(k，1)·3ᵏ⁻¹+...+1]+1
=2·C(k，0)·3ᵏ+2·C(k，1)·3ᵏ⁻¹+...+3
各项均包含因子3，能被3整除。因此n为奇数时，2ⁿ+1能被3整除。
n为偶数时，n-1为奇数，2ⁿ⁻¹+1能被3整除。令2ⁿ⁻¹+1=3k，(k∈N*)
2ⁿ+1=2·(2ⁿ⁻¹+1)-1=2·3k-1
2·3k包含因子3，能被3整除，因此2·3k-1不能被3整除。即n为偶数时，2ⁿ+1不能被3整除。
综上，得：n为奇数时，2ⁿ+1能被3整除；n为偶数时，2ⁿ+1不能被3整除。