Question

设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)*f(n)

设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)*f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1。
求：设集合A={(x,y)/f(x*x)*f(y*y)>f(1)},集合B=={(x,y)/f(a*x-y+2)=1,a属于R},若A与B的交集是空集，求a的取值范围。

Answer 1

x>0时，0<f(x)<1
=> 当m>0,n>0时,m+n > n, f(m+n) = f(m)*f(n) < f(n)
=> x>0时,f(x)单调递减。

f(0) = f(0)*f(0) => f(0) = 0 或 f(0)=1
当f(0) = 0 , m>0 时，f(m+0) = f(m)*f(0) = 0 与题意矛盾
f(0) = 1
当m>0：
f(0) = f(m)*f(-m) = 1 => f(-m) = 1/f(m) => 当x<0时，f(x)单调递减。

A: f(x*x)*f(y*y) > f(1)
f(x^2 + y^2) > f(1)
=> x^2+y^2 < 1 解集为圆的内部

B: f(a*x-y+2) = 1
=> a*x - y + 2 = 0 根据单调性

若A与B的交集是空集
=> 直线a*x - y + 2 = 0 与圆x^2+y^2 = 1至多有一个交点。
=> 作图易得 ：
=> 0<= a <= 根号3 或 0>= a >= - 根号3