Question

求下列微分方程满足初始条件的特解 y〃-3y′²=0,y(0)=0,y′(0)=－1

Answer 1

y″-4y′+3y=0的特征方程为：λ²-4λ+3=0，因此(λ-3)(λ-1)=0则，λ=1，λ=3
得通解y=c1e^x+c2e^(3x),(c1,c2是任意常数)
y'=c1e^x+3c2e^(3x)
y│(x=0)=-2，得c1+c2=-2---①
y′│(x=0)=0，得c1+3c2=0---②
①-②:-2c2=-2,所以c2=1,由①得c1=-3
故特解为：y=-3e^x+3e^(3x).

Answer 2

解：可看做不显含y型
记y'=dy/dx=p,则y"=p'
则
y〃-3y′²=0可化为
p'-3p²=0
分离变量
dp/p²=3dx
两边积分
∫dp/p²=3∫dx
得到-1/p=3x+c1
即p=dy/dx=-1/(3x+c1)
分离变量,两边积分,凑微
∫dy=-∫dx/(2x+c1)=-(1/3)∫d(x+c1)/(3x+c1)得到y=-(1/3)ln|3x+c1|+c2
初值条件y(0)=0,y'(0)=-1
得到-(1/3)lnc1+c2=0,-1/c1=-1
解得c1=1,c2=0
特解为
y=-(1/3)ln|3x+1|