Question

已知三角形ABC的顶点A,B在椭圆x^2+3y^2=4上,C在直线l:y

已知三角形ABC的顶点A,B在椭圆x^2+3y^2=4上,C在直线l:y=x+2上，且AB//l
(1)求边 AB 中点的轨迹方程
(2)当AB边通过坐标原点O时，求三角形面积
(3)当三角形ABC为90°且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程

Answer 1

先给你说一个常用的结论，假设M是弦AB的中点，椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1，那么有k(AB)*k(OM)=-b²/a²，证明很简单，略去。
回到本题，设M（x0，y0），那么有y0/x0*1=-3/4,即3x+4y=0，再考虑其范围即可。
第二问是送分的，显然AB所在直线为y=x,与y=x+2的距离为根号2（此即为三角形的高），再求出弦AB的长，三角形面积即可求出。
对于第三问，关键是设好未知数。应该把C的坐标设出来，过C做垂直于l的直线，表示出B，再根据AB平行于l写出C，这样就可以把AC的长表示出来，利用不等式或者求导，将唯一参数C的坐标确定即可。注意，计算过程中不要去硬解方程，仔细观察，计算并不算麻烦。