Question

大学线性代数：为什么列满秩矩阵乘以列满秩矩阵还是列满秩？

Answer 1

设A是mn矩阵，B是ns矩阵，其中A，B均列满秩，证明：AB是列满秩.
只需证核空间Ker(AB)=0即可，我们采用反证法. 不妨设核空间Ker(AB)≠0，那么必存在非零向量x，满足ABx=0. 由于A列满秩，因此Bx=0，而B 也是列满秩，所以向量x必为零向量，与之矛盾. 故Ker(AB)=0, 于是有AB是列满秩矩阵.

Answer 2

因为两个满秩矩阵的行列式均≠0，它们的乘积矩阵的行列式也≠0，所以乘积矩阵也是满秩的

Answer 3

列满秩矩阵乘以列满秩矩阵, 可以相乘的矩阵是 A(m×n)B(n×p), m ≥ n, p ≤ n.
r(A) = n 满秩, r(B)= p 满秩, 则 r(AB) = min{r(A)，r(B)} = r(B) 满秩, 故 (AB)(m×p) 满秩。

追问

可是只有m=n时可以称为满秩呀

追答

那就不必强调列满秩， 只说满秩矩阵好了。因为方阵列满秩必行满秩。
两个满秩的 n 阶矩阵相乘， 则 r(AB) = min{r(A)，r(B)} = n, 故 (AB) 满秩。

Answer 4

当矩阵A是列满秩矩阵时，矩阵乘积AB的秩等于矩阵B的秩。
矩阵AB的列数等于矩阵B的列数，而B又是列满秩矩阵，故矩阵AB也是列满秩矩阵。

Answer 5

不对.①取行向量A = (1,0), 列向量B = (0,1)'.则A行满秩, B列满秩, 但AB = 0, r(AB) < 1不满秩.②直接取A, B都是满秩方阵,

追问

你给的两个都不是列满秩啊