证明:若函数f(x)在满足关系式f'(x)=f(x),且f(0)=1,则f(x)=e^x 如题
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证明
∵f'(x)=f(x)
∴f(x)=C1*e^(x+C2).C1,C2是常数
∵f(0)=1
∴f(0)=C1*e^C2=1
C1=1/e^C2
∴f(x)=1/e^C2*e^(x+C2)
=e^(-C2)*e^(x+C2)
=e^(x-C2+C2)
=e^x
命题成立
∵f'(x)=f(x)
∴f(x)=C1*e^(x+C2).C1,C2是常数
∵f(0)=1
∴f(0)=C1*e^C2=1
C1=1/e^C2
∴f(x)=1/e^C2*e^(x+C2)
=e^(-C2)*e^(x+C2)
=e^(x-C2+C2)
=e^x
命题成立
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