Question

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B的坐标是（0，2），过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作C

如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B的坐标是（0，2），过点B作BC⊥AB交x轴于点C，过点C作CD⊥BC交y轴于点D，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，过点E作EF⊥DE交y轴于点F，若EA=3AC．（1）求证：△CBA∽△EDC；（2）请写出点A，点C的坐标（解答过程可不写）；（3）求出线段EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵BC⊥AB，CD⊥BC，DE⊥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴△CBA∽△EDC；

（2）解：设C点的坐标为（a，0），点B的坐标（0，2），
设BC的解析式为：y=kx+2
则：ak+2=0
k=-

2

a

∴CD的斜率=

a

2

，
设CD的解析式为：y=

a

2

+b
把C点坐标代入得0=

a

2

?a+b，b=-

1

2

a²，
则：D点的坐标为：（0，-

1

2

a²）
又∵DE∥BC，
∴设DE的解析式为y=-

2

a

x-

1

2

a²，
当y=0时，0=-

2

a

x-

1

2

a²x=-

1

4

a³，
则E点的坐标：（-

1

4

a³，0）
又∵AB∥CD
∴设AB的解析式为：y=

a

2

x+2，
当y=0时，0=

a

2

x+2，x=-

4

a

，
则A点的坐标：（-

4

a

，0）
∵EA=3AC，所以E点必在A点的左边
AE=|-

1

4

a³|-|-

4

a

=

1

4

a³-

4

a

=

a4?16

4a

，
AC=|-

4

a

|+a=

4

a

+a=

a2+4

a

，
∴

a4?16

4a

=

a2+4

a

，
a⁴-16=12（4+a²），
a⁴-12a²