Question

给出下列几个命题：①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；②若函数f（x）是

给出下列几个命题：①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；②若函数f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③已知x 1 ，x 2 是函数f（x）定义域内的两个值，当x 1 ＜x 2 时，f（x 1 ）＞f（x 2 ），则f（x）是减函数；④设函数 y= 1-x + x+3 的最大值和最小值分别为M和m，则 M= 2 m ；⑤若f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．其中正确的命题序号是______．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

∵g（x）=f（x）+f（-x），∴g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故①g（x）是偶函数为真命题， ∵定义域为R的奇函数f（x），对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数关于点（1，0）成中心对称，故②函数f（x）的图象关于直线x=1对称为假命题； 若f（x）是减函数，则要求任意x 1 ＜x 2 ，均有f（x 1 ）＞f（x 2 ），由于③中x 1 ，x 2 是函数f（x）定义域内的两个值，不具有任意性，故③为假命题； 函数 y= 1-x + x+3 的定义域为[-3，1]，且函数 y= 1-x + x+3 在[-3，-1]上为增函数，在[-1，1]上为减函数，故m=2，M=2 2 ，∴ M= 2 m ，故④正确 若f （x）是定义在R上的奇函数，且f （x+2）也为奇函数，则f （x）是以4为周期的周期函数，故⑤为真命题． 故答案为：①④⑤