Question

在数列{an}中，a1=-12，2an=an-1-n-1（n≥2，n∈N*），设bn=an+n．（1）证明：数列{bn}是等比数列；（2）

在数列{an}中，a1=-12，2an=an-1-n-1（n≥2，n∈N*），设bn=an+n．（1）证明：数列{bn}是等比数列；（2）若cn=(12)n-an，Pn为数列{1cn2+cn}的前n项和，若Pn≤λCn+1对一切n∈N*均成立，求λ的最小值．

Answer 1

（1）证明：由2a_n=a_n-1-n-1两边加2n得，2（a_n+n）=a_n-1+n-1…（2分）
所以

an+n

an?1+(n?1)

＝

1

2

，即

bn

bn?1

＝

1

2

，
∴数列{b_n}是公比为2的等比数列，…（3分）
其首项为b1＝a1+1＝?

1

2

+1＝

1

2

，
所以bn＝(

1

2

)n．…（4分）
（2）解：由（1）得an＝(

1

2

)n?n，
所以c_n=n，∴

1

cn2+cn

＝

1

n2+n

＝

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

Pn＝(1?

1

2

)+(

1

2

?

1

3

)+…+(

1

n

?

1

n+1

)＝1?

1

n+1

＝

n

n+1

…（10分）
由P_n≤λc_n+1得：

n

n+1

≤λ(n+1)?λ≥

n

(n+1)2

＝

1

n+ 1 n +2

令f(n)＝

1

n+ 1 n +2

，知f（n）单调递减，即λ≥

1

4

，
∴λ的最小值为

1

4

．…（13分）