Question

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．（1）试推断f（x）在

设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．（1）试推断f（x）在区间[0，+∞）上是否为单调函数，并说明你的理由；（2）设g（x）=f（x）+bx，对于x1，x2∈R，且x1≠x2，若g（x1）=g（x2）=0，求|x1-x2|的取值范围；（3）求证：f（m+3）＞0．

Answer 1

（1）∵存在实数m，使f（m）=-a．
∴方程ax²+bx+c+a=0有实根?△=b²-4a（a+c）≥0…（*）

∵f(1)＝0

，
∴a+b+c=0，结合a＞b＞c得a＞0，c＜0
再将a+c=-b代入不等式（*），得
b²-4a?（-b）=b（b+4a）≥0，
∵b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0
∴b≥0.
可得二次函数f（x）=ax²+bx+c图象开口向上，且关于直线x=?

b

2a

对称
∵?

b

2a

＜0，f（x）在[?

b

2a

，+∞）上是增函数．
∴f（x）在区间[0，+∞）上是增函数…（3分）
（2）根据题意，得x₁，x₂是方程g（x）=0即ax²+2bx+c=0的两实根．
根据根与系数的关系得：

x1+x2＝? 2b a x1?x2＝ c a

∴|x1?x2|2＝(x1+x2)2?4x1x2＝ 4b2 a2 ? 4c a ＝ 4 a2 (b2?ac)＝ 4 a2 [(a+c)2?ac]

=4[(

c

a

)2+

c

a

+1]＝4(

c

a

+

1

2

)2+3.

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，

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