Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈（-1，1）时，

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈（-1，1）时，不等式mf（x）＞x恒成立，求m取值范围．

Answer 1

（1）由题意知，f（0）=1，f（1）=1，f（-1）=3
设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
则

c＝1 a+b+c＝1 a?b+c＝3

，解得

a＝1 b＝?1 c＝1

，故f（x）=x²-x+1
（2）∵f(x)＝x2?x+1＝(x?

1

2

)2+

3

4

＞0，
∴mf（x）＞x即m＞

x

x2?x+1

设g(x)＝

x

x2?x+1

，则g′(x)＝

1?x2

(x2?x+1)2

＞0
故g（x）在区间（-1，1）上是增函数，g（1）=1
从而m≥1．