Question

已知函数f（x）=?|x3?2x2+x|(x＜1)lnx(x≥1)，若命题“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题，则实数

已知函数f（x）=?|x3?2x2+x|(x＜1)lnx(x≥1)，若命题“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题，则实数k的取值范围是（1e，1]（1e，1]．

Answer 1

解答：解：当x＜1时，f（x）=-|x³-2x²+x|=-|x（x-1）²|=

x(x?1)2，x＜0 ?x(x?1)2，0≤x＜1

，
当x＜0，f′（x）=（x-1）（3x-1）＞0，∴f（x）是增函数；
当0≤x＜1，f′（x）=-（x-1）（3x-1），∴f（x）在区间（0，

1

3

）上是减函数，
在（

1

3

，1）上是增函数；
画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；
命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，
即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；
作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），
则由（lnx）′=

1

x

，得k=

1

m

，
即lnm=km，解得m=e，k=

1

e

；
设直线与y=x（x-1）²（x≤0）的图象相切于点（0，0），
∴y′=[x（x-1）²]′=（x-1）（3x-1），则有k=1，
由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，
以及与y=x（x-1）²（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，
∴k的取值范围是（

1

e

，1]．
故答案为：（

1

e

，1]．