Question

高一数学题 急 已知函数f(x)在区间G上有定义，若对任意x1,x2∈G，

已知函数f(x)在区间G上有定义，若对任意x1,x2∈G，有f(x1+x2/2)≤1/2[f(x1)+f(x2)]，则称f(x)为区间G上的凹函数.
判断下列函数是否为给定区间上的凹函数？并分别予以证明.
(1）f(x)=-2x²，x∈R.
(2）f(x)=2的x次方，x∈R.

Answer 1

证明：（1）不是x∈R上的凹函数。
举反例即可。令x1=1，x2=-1，（x1+x2）/2=0，f(0)=0
1/2[f(x1)+f(x2)] = 1/2*(-2-2) = -2

此时，f(x1+x2/2)>1/2[f(x1)+f(x2)]

所以
f(x)不是x∈R上的凹函数。
（2）是凹函数。
证明如下：任取x1，x2∈R，f(1/2(x1+x2)) = 2^(1/2(x1+x2))，
1/2[f(x1)+f(x2)] = 1/2(2^x1 + 2^x2)>=2*(1/2)*(2^x1)*(2^x2) = 2^(x1+x2)；