Question

给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x1，x2∈D（其中x1＞x2），若不等式f（x1）-f（x2）＞g（x1）

给定区间D，对于函数f（x）与g（x）及任意x1，x2∈D（其中x1＞x2），若不等式f（x1）-f（x2）＞g（x1）-g（x2）恒成立，则称函数f（x）相对于函数g（x）在区间D上是“渐先函数”。已知函数f（x）=ax²+ax相对于函数g（x）=2x-3在区间[a，a+2]上是渐先函数，则实数a的取值范围是？

Answer 1

由题：
函数f（x）=ax²+ax相对于函数g（x）=2x-3在区间[a，a+2]上是渐先函数
即：f（x1）-f（x2）＞g（x1）-g（x2）在[a，a+2]上恒成立。
(ax1²+ax1)—(ax2²—ax2)>2(x1 - x2) 化简得a(x1²-x2²)+a(x1-x2)>a(x1-x2)
因为x1>x2 , 两边同时除以x1-x2 得：
a(x1+x2)+a>2 即 a(x1+x2+1)>2
因为x1，x2∈[a，a+2] 所以
x1+x2+1∈(2a+1, 2a+5)
讨论：
当a>0时 ，
a(2a+1)<a(2a+5) 此时令a(2a+1)>2 得：
a> (-1+根号5)/4
当a<0时：
a(2a+1)>a(2a+5) 此时令a(2a+5)>2 得：
a<(-5-根号41)/4

综上：a ∈(-∞,(-5-√41)/4]∪[(-1+√17)/4,+∞)

答案跟楼上一样。思路不一样，看你选哪种咯！

Answer 2

对区间上任意的数x1,x2，均有x1>x2，
则不等式f(x1)-f(x2)>g(x1)-g(x2)恒成立时，
有：[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)>[g(x1)-g(x2)]/(x1-x2)恒成立
由导数定义，即有 f'(x)>g'(x) 恒成立，x∈[x1,x2]
已知f(x)=ax^2+ax对于g(x)=2x-3在[a,a+2]上为渐先函数
而f'(x)=2ax+a, g'(x)=2
∴有 2ax+a>2 在[a,a+2]上恒成立
当a≥0时，解得x>(2-a)/(2a)
x在区间[a,a+2]上，则有(2-a)/(2a)≤a
解得a≥(-1+√17)/4
当a≤0时，解得x<(2-a)/(2a)
x在区间[a,a+2]上，则有(2-a)/(2a)≥a+2
解得a≤(-5-√41)/4
∴当f(x)对g(x)在区间[a,a+2]上为渐先函数时，
实数a的取值范围为(-∞,(-5-√41)/4]∪[(-1+√17)/4,+∞)