椭圆2x的平方+y的平方=2，过椭圆一焦点的直线交椭圆于A,B两点，求三角形AOB面积的最大值
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记焦点为F,三角形AOB的面积,等于三角形AOF与三角形BOF的面积和,
三角形AOF的面积=c*A点的横坐标的绝对值/2
三角形BOF的面积=c*B点的横坐标的绝对值/2
所以,只要A\B两点的横坐标的差的绝对值最大就行.
设AB:y=kx+1
联立,则(2+k^2)x^2+2kx-1=0
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=8(k^2+1)/(k^2+2)^2
设k^2+1=t
则,(x1-x2)^2=8t/(t+1)^2=8/(t+1/t+2)<=2(利用均值,当且仅当t=1,k=0时取等)
所以面积最大值为根号2/2
三角形AOF的面积=c*A点的横坐标的绝对值/2
三角形BOF的面积=c*B点的横坐标的绝对值/2
所以,只要A\B两点的横坐标的差的绝对值最大就行.
设AB:y=kx+1
联立,则(2+k^2)x^2+2kx-1=0
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=8(k^2+1)/(k^2+2)^2
设k^2+1=t
则,(x1-x2)^2=8t/(t+1)^2=8/(t+1/t+2)<=2(利用均值,当且仅当t=1,k=0时取等)
所以面积最大值为根号2/2
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