Question

设f(x)在(-∞，＋∞)内有定义证明：f(x)＋f(-x)是偶函数；f(x)-f(-x)是奇函数

Answer 1

设 g(x)=f(x)+f(-x) , k(x)=f(x)-f(-x),
那么 g(-x)=f(-x)+f[-(-x)]=f(-x)+f(x)=g(x),

所以 g(x)是偶函数，也就是说f(x)+f(-x)是偶函数。
k(-x)=f(-x)-f[-(-x)]=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-k(x),
所以 k(x)是奇函数，也就是说f(x)-f(-x)是奇函数。

Answer 2

设g(x)=f(x)＋f(-x)
则g(-x)=f(-x)＋f(x)=g(x)
所以，g(-x)=f(x)＋f(-x)=g(x)
g(x)是偶函数

设g(x)=f(x)-f(-x)
则g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x)
所以，g(-x)=-g(x)
g(x)是奇函数

Answer 3

设F（x）=f（x）+f（-x）
G（x）=f（x）-f（-x）
定义域关于原点对称
F（-x）=f（-x）+f（x）=F（x）是偶函数；
G（-x）=f（-x）-f（x）=-G（x）所以是奇函数