Question

在数列|an|,|bn|中,a1=2,b1=4,且an,bn,a(n+1)成等差数列,bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列（n∈N＊),求a2,a3,a4

及b2,b3,b4,由此猜测|an|,|bn|的通项公式，并证明你的结论
过程详细

Answer 1

an,bn,a(n+1)成等差数列,那么a1,b1,a2成等差数列

2*b2=a1+a2, a2=6

bn,a(n+1),b(n+1)成等比数列,那么b1,a2,b2成等比数列

a2^2=b1*b2, b2=9

再由次方法计下去,得:a3=12,b3=16,a4=20,b4=25
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猜测{an}的通项公式是an=n(n+1),{bn}的通项公式是bn=(n+1)²

用数学归纳法证明:an=n(n+1),bn=(n+1)²

当n=1时,成立

假设当n=k时,等式成立,ak=k(k+1),bk=(k+1)²

当n=k+1时,a(k+1)=2*bk-ak=2(k+1)²-k(k+1)=(k+1)(k+2)=(k+1)[(k+1)+1],成立

b(k+1)=a(k+1)²/bk=[(k+1)(k+1+1)]²/(k+1)²=[(k+1)+1]²,成立

所以,假设得证

两数列通项公式是:an=n(n+1),bn=(n+1)²