Question

已知正项数列{an}满足an+1=an/(1+an)且a1=1/2 求{an}的通项公式

Answer 1

1/(an+1)=1/(an)+1

Answer 2

解：由题意得：

∵a1=1/2,a(n+1)=an/(1+an)

∴有：a2=1/3,a3=1/4,a4=1/5......

以此类推：

可猜想：an=1/(1+n)

用数学归纳法证明：

①n=1时，a1=1/2，显然猜想成立

②设n=k时也成立，即有a(k)=1/(1+k)，【如果证得a(k+1)猜想也成立就完成了】

由题意可得：

a(k+1)=a(k)/(1+a(k))

∴把假设条件a(k)=1/(1+k)代入上式得：

a(k+1)=[1/(1+k)]/{1+[1/(1+k)]}

=1/(2+k)

=1/[1+(1+k)]

∴猜想成立

∴得证