Question

当x→2时，y=x²→4.问δ等于多少，则当|x-2|<δ时|y-4|<0.001?

由 |x-2|<δ 推出 |δ²-4δ+4| < x² < |δ²+4δ+4| (1)
由 |y-4|<0.001 推出 4-0.001 < x² < 4+0.001 (2)
要使（2）成立，只需 4-0.001≤ |δ²-4δ+4|，|δ²+4δ+4| ≤4+0.001（δ>0) (3)
要使(3)成立，只需 -0.001≤δ²-4δ，δ²+4δ≤0.001
可取4δ=0.001 即 δ=0.00025满足以上不等式
所以 当|x-2|<0.00025时|y-4|<0.001
这样做对不对？

Answer 1

不可以，要使(3)成立，只需 -0.001≤δ²-4δ，δ²+4δ≤0.001
可取4δ=0.001 即 δ=0.00025，这两步明显错的
其实你仔细看题，题目是问δ等于多少，而不是问一个范围，换句话，他只要求你求出合乎条件的一个值，并没有去限制此值刚好符合，
不妨：令δ<1,那么1<x<3,于是3<x+2<5，
∣y-4∣=∣x-2∣∣x+2∣<5∣x-2∣<5δ
令5δ<0.001
于是δ<0.0002

Answer 2

令δ<1,那么1<x<3,于是3<x+2<5，
∣y-4∣=∣x-2∣∣x+2∣<5∣x-2∣<5δ
令5δ<0.001
于是δ<0.0002