Question

设二次函数f(x)的顶点(-2,2/3),其与x轴两交点的距离为6,则f(x)=

Answer 1

解1：
(三点式)
由已知两根为
-2+6/2=1和-2-6/2=-5
可设y=ax^2+bx+c
(a不等于0)
把(-2,2/3)(1,0)(-5,0)代入可得方程组
/
4a-2b+c=2/3
{
a+b+c=0
\
25a-5b+c=0
解出(a,b,c)=(-2/27,-8/27,10/27)
所以y=-2/27x^2-8/27x+10/27
解2：
(顶点式)，
可设解析式为
y=a(x+2)^2+2/3=ax^2+4ax+4a+2/3(a不等于0)
由第二个条件，y=0
两根x1,x2(x1<x2)有|x1-x2|=6
由韦达定理
有
x1+x2=-4
,x1x2=4+2/3a
所以
36=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=
16-4(4+2/3a)=-8/3a
因此a=-2/27
故解析式为
y=-2/27（x+2）^2+2/3
解3：(两根式)
由已知两根为
-2+6/2=1
和-2-6/2=-5
可设y=a(x-1)(x+5)
(a不等于0)
把(x,y)=(-2,2/3)代入得a=-2/27
所以解析式为
y=-2/27(x-1)(x+5)
这三种解析式展开后是一样的。

Answer 2

解：与x轴两交点的距离为6，对称轴x=-2，所以两个交点坐标为x1=-5，x2=1
设f（x）=a(x+5)(x-1)
把顶点（-2,2/3)代入得f(x)=2/27
(x+5)(x-1)