Question

如何证明二重积分对称性定理

这个定理很好，可我想知道原理，就是证明这个定理的过程。

谢啦，高分求高人

Answer 1

二重积分对称性定理：积分区域D关于原点对称，f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数族冲喊，则判燃∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的兆野奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)时）
或
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分），（当f关于x,y的偶函数，即f(-x,-y)=f(x,y)时）

奇函数
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫-f(-x,-y)dxdy=-∫∫f(-x,-y)dxdy==-∫∫f(x,y)d(-x)d(-y)=-∫∫f(x,y)dxdy
因此∫∫f(x,y)dxdy=0

偶函数同理