Question

在梯形ABCD中，AB‖DC，DB平分∠ADC，过点A作AE‖BD,交CD的延长线于点E，且∠C=2∠E。

（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形。
（2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的长。

Answer 1

（1）因为AE‖BD
所以∠E=∠BDC
因为DB平分∠ADC
所以∠ADB=∠BDC=∠E
因为∠ADC=∠ADB+∠BDC=2∠E，∠C=2∠E
所以∠ADC=∠C
所以梯形ABCD是等腰梯形（同一底上两内角相等的梯形是等腰梯形）

（2）因为梯形ABCD是等腰梯形
所以AD=BC=5
因为∠E=∠BDC=30°
所以∠C=60°
所以∠CBD=90°
所以BC=1/2DC=10

Answer 2

解
（1）
∵AE‖BD
∴∠E=∠BDC
所以∠C=2∠E=2∠BDC=∠ADC
∴ABCD是等腰梯形。
（2）
∵ABCD是等腰梯形
∴∠DAC=∠ABC=180-60=120°
∠ABD=∠BDC=30°
∴∠DBC=120-30=90°
∴在直角△DBC中 DC=2BC
BC=AD=5
所以;DC=10

Answer 3

1、∵BD‖AE
∴∠E=∠BDC
∵DB平分∠ADC
∴∠BDC=∠BDA=1/2∠ADC
∵∠C=2∠E
∴∠C=2∠BDC=∠ADC
∴梯形ABCD为等腰梯形 （梯形两底角相等则为等腰梯形）
2、∵∠BDC=30° ∠C=2∠BDC
∴∠C=60°
∴∠CBD=90°
∴△CBD为直角三角形，∠BDC=30°
∴CD=2BC=2AD=2×5=10