Question

对一切实数 x，所有的二次函数 f（x）=ax^2+bx+c （a＜b）的值均为非负实数．则 b-a/a+b+c 的最大值是

Answer 1

f(x)=ax^2+bx+c(a<b)的值恒为非负实数
所以a
>
0
且
b^2
-
4ac
<=
0
所以
4ac
>=
b^2,
c
>=
b^2/(4a)
(a+b+c)/(b-a)
>=
(a+b+
b^2/(4a))/(b-a)
=
(2a+b)^2/(4a(b-a))
>=
4(b-a)*
3a/(4a(b-a))
=
3.
其中
最小值
3
在
c
=
b^2/(4a)，
b-a
=
3a
时成立。
即
b
=
=
c
=
4a
>0
时，
(a+b+c)/(b-a)
得最小值
3。

所以(b-a)/(a+b+c)得最大值为1/3。