Question

等比数列{An}的前项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n,Sn）均在函数y=Bx（上标）+r的图像上

补充（B>0,且B≠1，B，r均为常数）
（1）求的r值
（2）当B=2时，记Bn=(n+1)/4An（n∈N*），求数列{Bn}的前n项和Tn
多谢了，希望大家帮帮忙！

Answer 1

解：
(1) Sn = B^n + r
设公比为q,首项为A,则 Sn = A(q^n-1)/(q-1)
由于对任意n恒成立，两边对比得
A=q-1,B=q,r=-1
∴ r = -1

(2) An = (q-1)q^(n-1)
Bn = 1/4(q-1)(n+1)q^(n-1)
∴ 4Tn = 2(q-1)+3(q-1)q+4(q-1)q²+……+(q-1)(n+1)q^(n-1)
4qTn = 2(q-1)q+3(q-1)q²+4(q-1)q³+……+(q-1)nq^(n-1)+(q-1)(n+1)q^n
∴(4-4q)Tn = 2(q-1)+[(q-1)q+(q-1)q²+……+(q-1)q^(n-1)]-(q-1)(n+1)q^n
= 2(q-1)+q^n-q^(n-1)-(q-1)(n+1)q^n
= (q-1)[q^(n-1)-(n+1)q^n+2]
∴ Tn = 1/4[(n+1)q^n - q^(n-1)-2]
将q=2,代入得
Tn = 1/4[(n+1)2^n - 2^(n-1)-2]
= 1/4[(2n+1)2^(n-1)-2]

Answer 2

（1） an=Sn-Sn-1=B^n-B^(n-1)
a1=B-1=S1=B+r
r=-1

（2） B=2时，an=2^(n-1),Bn=(n+1)/4*2^(n-1),令
Tn=(1+1)/4*2^(1-1)+(2+1)/4*2^(2-1)+……+(n+1)/4*2^(n-1), ①
2Tn= (1+1)/4*2^(2-1)+……+n/4*2^(n-1) +(n+1)/4*2^n ②

②-①=Tn=(n+1)/4*2^n-(1+1)/4*2^(1-1)=(n+1)/4*2^n-1/2

PS：第二小题求和的方法叫做“错位相乘法”，应该知道的吧。不知道的话自己搜索下，网上应该有的

Answer 3

1)
n=1,S1=b+r=a1
n=2,S2=b^2+r,a2=a1q=S2-S1=b(b-1),q=b(b-1)/(b+r)
n=3,S3=b^3+r,a3=a1q^2=b^2(b-1)^2/(b+r)=S3-S2=b(b-1)
r=-1,q=B,a1=B-1
2)
B=2,a1=1,q=2,An=q^(n-1)=2^(n-1)
Bn=(n+1)/4*2^(n-1)=(n+1)/2^(n+1),B1=1/2
Tn=1/2+3/2^3+4/2^4+...+n/2^n+(n+1)/2^(n+1) (1)
1/2Tn=1/4+3/2^4+...+n/2^(n+1)+(n+1)/2^(n+2) (2)
(1)-(2)得
1/2Tn=5/8+1/2^4+...+1/2^(n+1)-(n+1)/2^(n+2)
=3/2-(n+3)/2^(n+1)