Question

等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n属于N*，点(n，Sn)，均在函数y=b的x次方+r

（b>0且b不等于0，b，r均为常数）的图像上。（1）求r的值 （2）当b=2时，记bn=(n+1)/4an(n属于N*)，求数列{bn}的前n项和Tn

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

an=Sn - S(n-1) 将点（n-1，S(n-1)/(n-1) )，（n，Sn/n)
带入y=3x-2 得S(n-1)/(n-1)=3（n-1)-2
化简得S(n-1)=3n^2-8n+6Sn/n=3n-2 化简得Sn=3n^2-2n
an=Sn-S(n-1)=3n^2-2n-(3n^2-8n+6)=6n-6
因为y=3*x-2; 所以Sn/n=3*n-2 即Sn=3*n*n-2*n
由an=Sn-Sn-1
得 an=6*n-5 bn=3/(an*an+1)=3/(6n-5)(6n-5)=1/2(1/(6n-5)-1/(6n+1))(裂项相消)
所以Tn=1/2（1-1/7+i/7-..........+1/(6n-5)-1/(6n+1)） =1/2(1-1/(6n+1)) =1/2-1/2(6n+1) <1/2 所以要使Tn<m/20对所有n∈N*都成立的最小正整数m
令1/2=m/20
即使Tn<m/20对所有n∈N*都成立的最小正整数m=10

Answer 3

1. (n,Sn)代入y=b^x+r Sn=b^n+r n>=2时 An=Sn-S(n-1)=b^n+r-b^(n-1)-r=(b-1)×b^(n-1) 要使{An}为等比数列，A1也需满足上式 A1=S1=b+r=(b-1)×1 r=-1 2. b=2 An=2^(n-1) Bn=(n+1)/(4×An)=(n+1)/2^(n+1) Tn=B1+B2+B3+……+Bn=2/2^2+3/2^3+4/2^4+……+(n+1)/2^(n+1) 2Tn=2/2^1+3/2^2+4/2^3+……+(n+1)/2^n 两式错位相减 2Tn-Tn=1+[(3/2^2-2/2^2)+(4/2^3-3/2^2)+……+(n+1)/2^n-n/2^n]-(n+1)/2^(n+1) =1+(1/2^2+1/2^3+……+1/2^n)-(n+1)/2^(n+1) =1+(1/4)×(1-1/2^(n-1))/(1-1/2)-(n+1)/2^(n+1) =3/2-(n+3)/2^(n+1)