求证“根号2是无理数”
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√2是无理数
欧几里得《几何原本》中的证明方法：
证明:√2是无理数
假设√2不是无理数
∴√2是有理数
令 √2=p/q (p、q互质)
两边平方得：
2=(p/q)^2
即：
2=p^2/q^2
通过移项,得：
2q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m
则p^2=4m^2
∴2q^2=4m^2
化简得：
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上,q和p都是偶数
∴q、p互质,且q、p为偶数
矛盾 原假设不成立
∴√2为无理数
欧几里得《几何原本》中的证明方法：
证明:√2是无理数
假设√2不是无理数
∴√2是有理数
令 √2=p/q (p、q互质)
两边平方得：
2=(p/q)^2
即：
2=p^2/q^2
通过移项,得：
2q^2=p^2
∴p^2必为偶数
∴p必为偶数
令p=2m
则p^2=4m^2
∴2q^2=4m^2
化简得：
q^2=2m^2
∴q^2必为偶数
∴q必为偶数
综上,q和p都是偶数
∴q、p互质,且q、p为偶数
矛盾 原假设不成立
∴√2为无理数
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