Question

设f是A到B的函数，g是B到C的函数，若f复合g是双射，证明f为单射，g为满射

Answer 1

按定义反证就可以.
若f不单, 则存在A的元素a1≠ a2使得f(a1)=f(a2). (1)
由(1)得到g(f(a1))=g(f(a2)),
所以g(f)不是单射, 这就与g(f)是双射矛盾. 所以f单.
另一方面, 若g不满, 则存在C的元素c使得对B的任意元素b有g(b)≠c. (2)
对A的任意元素a, f(a)是B的一个元素, 所以由(2)得到g(f(a))≠c,
所以g(f)不是满射, 这就与g(f)是双射矛盾. 所以g满.
证毕.

Answer 2

用反证法证明，假设g不是单射，不妨设b中元素a,b由g映射到c中同一元素c上。则因为f是满射，所以存在a中元素d,f分别由f映射到a,b上，所以d,f由f⊙g映射到c上，即f⊙g不为单射。与条件矛盾，假设不成立。所以g一定为单射