Question

二重积分：∫∫√(R^2-X^2-Y^2)dxdy, 其中D是由圆周X^2+Y^2=Rx所围成的闭

二重积分：∫∫√(R^2-X^2-Y^2)dxdy, 其中D是由圆周X^2+Y^2=Rx所围成的闭区域

Answer 1

x² + y² = Rx ==> (x - R/2)² + y² = (R/2)² ==> r = Rcosθ
这是在y轴右边，与y轴相切的圆形
所以角度范围是有- π/2到π/2
又由于被积函数关于x轴对称
由对称性，所以∫∫D = 2∫∫D(上半部分)，即角度范围由0到π/2
∫∫ √(R² - x² - y²) dxdy
= ∫∫ √(R² - r²) * r drdθ
= 2∫(0，π/2) dθ ∫(0，Rcosθ) √(R² - r²) * r dr
= 2∫(0，π/2) dθ * (- 1/2) * (2/3)(R² - r²)^(3/2) |(0，Rcosθ)
= (- 2/3)∫(0，π/2) [(R² - R²cos²θ)^(3/2) - R³] dθ
= (- 2/3)∫(0，π/2) R³(sin³θ - 1) dθ
= (- 2/3)R³ * (2!!/3!! - π/2)，这里用了Wallis公式
= (- 2/3)R³ * (2/3 - π/2)
= (1/3)(π - 4/3)R³

追问

如果不利用对称性呢

追答

- π/2到π/2，也是这样做下去
不过到了中间，你会发现有|sinx|³ - 1
这个|sinx|要注意了，当x∈(0，π/2)时|sinx| = sinx
当x∈(- π/2，0)时|sinx| = - sinx
要分段计算了，所以用对称性就没有这个麻烦了

追问

大神可以给我个qq吗？。。。。

追答

有问题来贴吧问吧，我Q号很久前就废了而且我这里也用不了

追问

那R算到那步不也是绝对值的三次方吗？

那R算到那步不也是绝对值的三次方吗？

这题R没告诉正负需要考虑吗？

这题R没告诉正负需要考虑吗？

什么贴吧。。

追答

这个常数R题目没给，就当是正常数处理了，可以直接拉出来，只有函数才要讨论正负值
高等数学吧 或 数学吧

追问

好，谢谢

Answer 2

柱坐标

追答

用极坐标来做，
令x=rcosθ，y=rsinθ
则∫∫√(R^2-X^2-Y^2)dxdy=∫∫ r *√(R^2-r^2) drdθ，
由积分区域D：X^2+Y^2=Rx可以知道，
r^2<= R*rcosθ，即 r<=Rcosθ，
而画出D的图形可以知道θ的范围是[0，π]
所以
∫∫ r *√(R^2-r^2) drdθ
=∫∫ 0.5√(R^2-r^2) d(r^2)dθ
化成二次积分，
原积分=∫ [0，π]dθ ∫ [Rcosθ，0] 0.5√(R^2-r^2) d(r^2)
显然 ∫0.5√(R^2-r^2) d(r^2)= -1/3 * (R^2-r^2)^(3/2) +C(C为常数)，
代入上下限，
即 ∫ [Rcosθ，0] 0.5√(R^2-r^2) d(r^2)
=1/3 * [R^3-(Rsinθ)^3]
再对θ积分，
原积分=∫ [0，π] 1/3 * [R^3-(Rsinθ)^3]dθ
=R^3/3 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ
而
∫ [1-(sinθ)^3]dθ=θ- ∫(sinθ)^3dθ
=θ+∫(sinθ)^2dcosθ
=θ+∫[1-(cosθ)^2]dcosθ
=θ+cosθ-(cosθ)^3 /3 +C(C为常数)
代入上下限，
即 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ=[π+cosπ-(cosπ)^3 /3] -[0+cos0-(cos0)^3 /3]=π-4/3
于是原积分=R^3/3 ∫ [0，π] [1-(sinθ)^3]dθ
=R^3/3*(π-4/3)

追问

画出的图像角度不是0到派吧