已知y=2cos2x+4asinx+a-3(1)求函数最大值M(a)的表达式.(2)若f(x)=0在[0,π]有2个解,求a的取值
已知y=2cos2x+4asinx+a-3(1)求函数最大值M(a)的表达式.(2)若f(x)=0在[0,π]有2个解,求a的取值范围....
已知y=2cos2x+4asinx+a-3(1)求函数最大值M(a)的表达式.(2)若f(x)=0在[0,π]有2个解,求a的取值范围.
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(1)y=2cos2x+4asinx+a-3=2a2+a-1-2(sinx-a)2,当-1≤a≤1时,函数最大值M(a)=2a2+a-1.
当 a<-1时,函数最大值M(a)=2a2+a-1-2 (-1-a)2=-3a-3.
当 a>1时,函数最大值M(a)=2a2+a-1-2 (1-a)2=5a-3.
(2)若f(x)=0在[0,π]上有2个解,令 sinx=t,∵0≤x≤π,∴0≤sinx≤1,∴0≤t≤1.
由于当t在[0,1)上任意取一个值,x在[0,π)]上都有2个值与之对应,而当t=1时,只有一个x=
与之对应.
故由题意f(x)=0在[0,π]有2个解,可得关于t的函数 g(t)=2a2+a-1-2(t-a)2 =-2t2+4at+a-1
的图象在[0,1)上,与横轴只能有一个交点,
即关于t的方程 g(t)=0在[0,1)上有唯一解.
∴
,即
,∴a=
,
故a的取值范围是 {
}.
当 a<-1时,函数最大值M(a)=2a2+a-1-2 (-1-a)2=-3a-3.
当 a>1时,函数最大值M(a)=2a2+a-1-2 (1-a)2=5a-3.
(2)若f(x)=0在[0,π]上有2个解,令 sinx=t,∵0≤x≤π,∴0≤sinx≤1,∴0≤t≤1.
由于当t在[0,1)上任意取一个值,x在[0,π)]上都有2个值与之对应,而当t=1时,只有一个x=
π |
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故由题意f(x)=0在[0,π]有2个解,可得关于t的函数 g(t)=2a2+a-1-2(t-a)2 =-2t2+4at+a-1
的图象在[0,1)上,与横轴只能有一个交点,
即关于t的方程 g(t)=0在[0,1)上有唯一解.
∴
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故a的取值范围是 {
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