Question

已知y=2cos2x+4asinx+a-3（1）求函数最大值M（a）的表达式．（2）若f（x）=0在[0，π]有2个解，求a的取值

已知y=2cos2x+4asinx+a-3（1）求函数最大值M（a）的表达式．（2）若f（x）=0在[0，π]有2个解，求a的取值范围．

Answer 1

（1）y=2cos²x+4asinx+a-3=2a²+a-1-2（sinx-a）²，当-1≤a≤1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1．
 当  a＜-1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1-2 （-1-a）²=-3a-3．
当 a＞1时，函数最大值M（a）=2a²+a-1-2 （1-a）²=5a-3．
（2）若f（x）=0在[0，π]上有2个解，令 sinx=t，∵0≤x≤π，∴0≤sinx≤1，∴0≤t≤1．
由于当t在[0，1）上任意取一个值，x在[0，π）]上都有2个值与之对应，而当t=1时，只有一个x=

π

2

与之对应．
故由题意f（x）=0在[0，π]有2个解，可得关于t的函数 g（t）=2a²+a-1-2（t-a）² =-2t²+4at+a-1
的图象在[0，1）上，与横轴只能有一个交点，
即关于t的方程 g（t）=0在[0，1）上有唯一解．
∴

△ ＝ 16a2+8a?8＝ 0 0≤a＜1 g(0) ≤0 g(1)＜0

，即

a ＝ 1 2  ，或a＝?1 0＜a＜1 a?1≤0 5a?3＜0

，∴a=

1

2

，
故a的取值范围是 {

1

2

}．