Question

正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB的中点，四边形EFGH面积记为S （x） ，则S

正三棱锥P-ABC的底面边长为a，E、F、G、H分别是PA、AC、BC、PB的中点，四边形EFGH面积记为S （x） ，则S （x） 的取值范围是______．

Answer 1

∵棱锥P-ABC为底面边长为a的正三棱锥， ∴AB⊥PC， 又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点， ∴EH=FG= 1 2 AB，，EF=HG= 1 2 PC， 则四边形EFGH为一个矩形， ∵正三棱锥P-ABC的底面边长为a， 作CD⊥AB，交AB于D，则CD= a 2 - 1 4 a 2 = 3 2 a ， 作PO⊥CD，交CD于O，则CO= 2 3 CD= 3 3 a ， 在Rt△POC中，∵∠POC=90°， ∴PC＞CO= 3 a 3 ，∴EF＞ 3 6 a， ∴四边形EFGH的面积为S＞ 3 a 2 12 ， 故答案为：（ 3 a 2 12 ，+∞）．