Question

已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和．（1）若S4，S10，S7成等差数列，证明a1，a7，a4也成等差数列；

已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和．（1）若S4，S10，S7成等差数列，证明a1，a7，a4也成等差数列；（2）设S3＝32，S6＝2116，bn=λan-n2，若数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）证明：设数列{a_n}的公比为q，
因为S₄，S₁₀，S₇成等差数列，所以q≠1，且2S₁₀=S₄+S₇．
所以

2a1(1?q10)

1?q

＝

a1(1?q4)

1?q

+

a1(1?q7)

1?q

，
因为1-q≠0，所以1+q³=2q⁶．
所以a₁+a₁q³=2a₁q⁶，即a₁+a₄=2a₇．
所以a₁，a₇，a₄也成等差数列．
（2）因为S3＝

3

2

，S6＝

21

16

，
所以

a1(1?q3)

1?q

＝

3

2

，①

a1(1?q6)

1?q

＝

21

16

，②
由②÷①，得1+q3＝

7

8

，所以q＝?

1

2

，代入①，得a₁=2．
所以an＝2?(?

1

2

)n?1，
又因为b_n=λa_n-n²，所以bn＝2λ(?

1

2

)n?1?n2，
由题意可知对任意n∈N^*，数列{b_n}单调递减，
所以b_n+1＜b_n，即2λ(?

1

2

)n?(n+1)2＜2λ(?

1

2

)n?1?n2，
即6λ(?

1

2

)n＜2n+1对任意n∈N^*恒成立，
当n是奇数时，λ＞?

(2n+1)2n

6

，当n=1时，?

(2n+1)2n

6

取得最大值-1，
所以λ＞-1；
当n是偶数时，λ＜

(2n+1)2n

6