Question

已知函数f（x）=logax?2x+2的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β-1），logaa（α-1）]，并且f（x）在[α

已知函数f（x）=logax?2x+2的定义域为[α，β]，值域为[logaa（β-1），logaa（α-1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．（1）求a的取值范围；（2）求证：2＜α＜4＜β；（3）若函数g（x）=logaa（x-1）-logax?2x+2，x∈[α，β]的最大值为M，求证：0＜M＜1．

Answer 1

解答：解．（1）按题意，得loga

α?2

α+2

＝f(x)max＝logaa(α?1)．
∴

α?2 α+2 ＞0 α?1＞0

即　α＞2．                                      （3分）
又loga

β?2

β+2

＝fmin(x)＝logaa(β?1)
∴关于x的方程loga

x?2

x+2

＝logaa(x?1)．
在（2，+∞）内有二不等实根x=α、β．
?关于x的二次方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根α、β．
?

a＞0且a≠1 △＝(a?1)2+8a(a?1)＞0 ? a?1 2a ＞2 4a+2(a?1)+2(1?a)＞0

?0＜a＜

1

9

．　　
故　0＜a＜

1

9

．             （6分）
（2）令Φ（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a），
则Φ（2）?Φ（4）=4a?（18a-2）=8a（9a-1）＜0．
∴2＜α＜4＜β．                                                    （10分）
（3）∵g(x)＝loga

(x?1)(x+2)

x?2

+1，
g′(x)＝

1

lna

?

x?2

(x?1)(x+2)

?

(2x+1)(x?2)?(x2+x?2)

(x?2)2

=

1

lna

?

x(x?4)

(x+2)(x?1)(x?2)

．
∵lna＜0，
∴当x∈（α，4）时，g'（x）＞0；
当x∈（4，β）是g'（x）＜0．
又g（x）在[α，β]上连接，
∴g（x）在[α，4]上递增，在[4，β]上递减．
故　M=g（4）=log_a9+1=log_a9a．                                    （12分）
∵0＜a＜

1

9

，
∴0＜9a＜1．
故M＞0．　
若M≥1，则9a=a^M．
∴9=a^M-1≤1，矛盾．
故0＜M＜1．                                   （15分）