已知函数f(x)=logax?2x+2的定义域为[α,β],值域为[logaa(β-1),logaa(α-1)],并且f(x)在[α

已知函数f(x)=logax?2x+2的定义域为[α,β],值域为[logaa(β-1),logaa(α-1)],并且f(x)在[α,β]上为减函数.(1)求a的取值范围... 已知函数f(x)=logax?2x+2的定义域为[α,β],值域为[logaa(β-1),logaa(α-1)],并且f(x)在[α,β]上为减函数.(1)求a的取值范围;(2)求证:2<α<4<β;(3)若函数g(x)=logaa(x-1)-logax?2x+2,x∈[α,β]的最大值为M,求证:0<M<1. 展开
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小煞爱你187
2015-01-03 · TA获得超过220个赞
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解答:解.(1)按题意,得loga
α?2
α+2
=f(x)max=logaa(α?1)

α?2
α+2
>0
α?1>0
即 α>2.                                      (3分)
loga
β?2
β+2
fmin(x)=logaa(β?1)

∴关于x的方程loga
x?2
x+2
=logaa(x?1)

在(2,+∞)内有二不等实根x=α、β.
?关于x的二次方程ax2+(a-1)x+2(1-a)=0在(2,+∞)内有二异根α、β.
?
a>0且a≠1
△=(a?1)2+8a(a?1)>0
?
a?1
2a
>2
4a+2(a?1)+2(1?a)>0
?0<a<
1
9
.  
故 0<a<
1
9
.             (6分)
(2)令Φ(x)=ax2+(a-1)x+2(1-a),
则Φ(2)?Φ(4)=4a?(18a-2)=8a(9a-1)<0.
∴2<α<4<β.                                                    (10分)
(3)∵g(x)=loga
(x?1)(x+2)
x?2
+1

g′(x)=
1
lna
?
x?2
(x?1)(x+2)
?
(2x+1)(x?2)?(x2+x?2)
(x?2)2

=
1
lna
?
x(x?4)
(x+2)(x?1)(x?2)

∵lna<0,
∴当x∈(α,4)时,g'(x)>0;
当x∈(4,β)是g'(x)<0.
又g(x)在[α,β]上连接,
∴g(x)在[α,4]上递增,在[4,β]上递减.
故 M=g(4)=loga9+1=loga9a.                                    (12分)
0<a<
1
9

∴0<9a<1.
故M>0. 
若M≥1,则9a=aM
∴9=aM-1≤1,矛盾.
故0<M<1.                                   (15分)
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