已知函数f（x）=x3-3x，x∈R，试判断函数在（1，+∞）上的单调性，并加以证明
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函数在（1，+∞）上的单调递增．
∵f（x）=x3-3x，
∴f′（x）=3x2-3，
当x＞1时，f′（x）=3x2-3＞0．
即此时函数单调递增．
也可以利用定义法证明：
设1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x13-3x1-x23+3x2=（x1-x2）（
+x1x2+
?3），
∵1＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
+x1x2+
?3＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数在（1，+∞）上的单调递增．
∵f（x）=x3-3x，
∴f′（x）=3x2-3，
当x＞1时，f′（x）=3x2-3＞0．
即此时函数单调递增．
也可以利用定义法证明：
设1＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x13-3x1-x23+3x2=（x1-x2）（
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
∵1＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数在（1，+∞）上的单调递增．
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