Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ex．若对任意的x∈[a，a+1]，不等式f（x+a）≥f2（x）

设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=ex．若对任意的x∈[a，a+1]，不等式f（x+a）≥f2（x）恒成立，则实数a的最大值是（　　）A．?32B．?23C．?34D．2

Answer 1

∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立等价为f（|x+a|）≥f²（|x|）恒成立，
∵当x≥0时，f（x）=e^x．
∴不等式等价为e^|x+a|≥（e^|x|）²=e^2|x|恒成立，
即|x+a|≥2|x|在[a，a+1]上恒成立，
平方得x²+2ax+a²≥4x²，
即3x²-2ax-a²≤0在[a，a+1]上恒成立，
设g（x）=3x²-2ax-a²，
则满足

g(a)≤0 g(a+1)≤0

，
∴

g(a)＝3a2?2a2?a2≤0 g(a+1)＝3(a+1)2?2a(a+1)?a2≤0

，
即

0≤0 4a+3≤0

，
∴a≤?

3

4

，
故实数a的最大值是?

3

4

．
故选：C．