Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（ab），且当x＞七

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（ab），且当x＞七时，f（x）＞0．（七）求f（七）的值；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（r）0果f（r）=七，解不等式f（x）-f（七x?8）＞2．

Answer 1

（1）取a=三=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，所以f（1）=0．
（八）函数在（0，+∞）上是单调增函数．
任取x₁，x_八∈（0，+∞），设x₁＜x_八，则f（x_八）-f（x₁）=f（

x八

x1

），因为0＜x₁＜x_八，所以

x八

x1

＞1，又当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（x_八）-f（x₁）=f（

x八

x1

）＞0，即f（x_八）＞f（x₁）．所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（1）若f（1）=1，则八=1+1=f（1）+f（1）=f（9），f（x）-f（

1

x?8

）=f（x（x-8）），则不等式f（x）-f（

1

x?8

）＞八可以化为f（x（x-8））＞f（9），即

x＞0 x?8＞0 x(x?8)＞0

，解得x＞9．即不等式的解集为（9，+∞）．