Question

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；（2）是否存在直线l，使l过

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，且满足 OP ? OQ =0 ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）如图，设M为动圆圆心，F（1，0）， 过点M作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN| 即动点M到定点F与到定直线x=-1的距离相等， 由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线， 其中F（1，0）为焦点，x=-1为准线， ∴动圆圆心的轨迹方程为y 2 =4x； （2）由题可设直线l的方程为x=k（y-1）（k≠0） 由 x=k(y-1) y 2 =4x 得y 2 -4ky+4k=0；△=16k 2 -16k＞0?k＜0ork＞1 设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ），则y 1 +y 2 =4k，y 1 y 2 =4k 由 OP ? OQ =0 ，即x 1 x 2 +y 1 y 2 =0?（k 2 +1）y 1 y 2 -k 2 （y 1 +y 2 ）+k 2 =0， 解得k=-4或k=0（舍去）， ∴直线l存在，其方程为x+4y-4=0．