Question

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=n3（an+2），求数列{bn}

已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=n3（an+2），求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+2，∴a_n+1+2=2（a_n+2）
由此可得数列{a_n+2}构成以a₁+2=3为首项，公比q=2的等比数列
得a_n+2=3?2^n-1，所以a_n=3?2^n-1-2，即为数列{a_n}的通项公式；
（II）∵b_n=

n

3

（a_n+2），
∴b_n=

n

3

?（3?2^n-1），得b_n=n?2^n-1
因此，S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n?2^n-1，--------①
两边都乘以2，得
2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n?2ⁿ，--------②
①-②，得
-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-1-n?2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1．