已知：函数y=ax2-（3a+1）x+2a+1（a为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；（2）若
已知：函数y=ax2-（3a+1）x+2a+1（a为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1...
已知：函数y=ax2-（3a+1）x+2a+1（a为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x2-x1=2．①求抛物线的解析式；②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．
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（1）函数y=ax2-（3a+1）x+2a+1（a为常数），
若a=0，则y=-x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；
若a≠0且图象过原点时，2a+1=0，a=-
，有两个交点（0，0），（1，0）；
若a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y=0有：
△=（3a+1）2-4a（2a+1）=0，解得a=-1，有两个交点（0，-1），（1，0）．
综上得：a=0或-
或-1时，函数图象与坐标轴有两个交点．
（2）①∵函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，
∴x1，x2为ax2-（3a+1）x+2a+1=0的两个根，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
∵x2-x1=2，
∴4=（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2=（
）2-4?
，
解得a=-
（函数开口向上，a＞0，舍去），或a=1，
∴y=x2-4x+3．
②∵函数y=x2-4x+3与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x1＜x2，
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵D为A关于y轴的对称点，
∴D（-1，0）．
根据题意画图，
如图1，过点D作DE⊥CB于E，
∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴△EDB为等腰直角三角形，
设DE=x，则EB=x，
∵DB=4，
∴x2+x2=42，
∴x=2
，即DE=2
．
在Rt△COD中，
∵DO=1，CO=3，
∴CD=
=
，
∴sin∠DCB=
=
若a=0，则y=-x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；
若a≠0且图象过原点时，2a+1=0，a=-
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若a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y=0有：
△=（3a+1）2-4a（2a+1）=0，解得a=-1，有两个交点（0，-1），（1，0）．
综上得：a=0或-
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（2）①∵函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，
∴x1，x2为ax2-（3a+1）x+2a+1=0的两个根，
∴x1+x2=
| 3a+1 |
| a |
| 2a+1 |
| a |
∵x2-x1=2，
∴4=（x2-x1）2=（x1+x2）2-4x1x2=（
| 3a+1 |
| a |
| 2a+1 |
| a |
解得a=-
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∴y=x2-4x+3．
②∵函数y=x2-4x+3与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x1＜x2，
∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∵D为A关于y轴的对称点，
∴D（-1，0）．
根据题意画图，
如图1，过点D作DE⊥CB于E，
∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
∴△EDB为等腰直角三角形，
设DE=x，则EB=x，
∵DB=4，
∴x2+x2=42，
∴x=2
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在Rt△COD中，
∵DO=1，CO=3，
∴CD=
| DO2+CO2 |
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∴sin∠DCB=
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| CD |
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