Question

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；（2）是否存在直线l，使l过

已知动圆过定点（1，0），且与直线x=-1相切．（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；（2）是否存在直线l，使l过点（0，1），并与轨迹C交于P，Q两点，且满足OP?OQ＝0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，设M为动圆圆心，F（1，0），
过点M作直线x=-1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|=|MN|
即动点M到定点F与到定直线x=-1的距离相等，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，
其中F（1，0）为焦点，x=-1为准线，
∴动圆圆心的轨迹方程为y²=4x；
（2）由题可设直线l的方程为x=k（y-1）（k≠0）
由

x＝k(y?1) y2＝4x

得y²-4ky+4k=0；△=16k²-16k＞0?k＜0ork＞1
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y₁+y₂=4k，y₁y₂=4k
由

OP

?

OQ

＝0，即x₁x₂+y₁y₂=0?（k²+1）y₁y₂-k²（y₁+y₂）+k²=0，
解得k=-4或k=0（舍去），
∴直线l存在，其方程为x+4y-4=0．