Question

高悬赏。一道高中数学，高手请帮忙

http://hi.baidu.com/lslwp/album/item/fd1016417345cd5773f05dbe.html
要求：
1.分析知识点
2.剖析解题思路
3.详细解答过程
4.题后反思
注：我因为要给全班同学讲，所以要详细些。麻烦了！
好的有追加!

Answer 1

知识点：此题考察的只是点比较少，有向量的数量积，第二问还暗含了均值不等式的运用，恒成立问题转化为最值问题以及化归转化即反客为主以t为变量。

思路：第一问很简单，我们要得到数量积，就必须构造数量积，就可以联想到已知条件，向量模与数量积的关系，将已知等式平方就可以了。对于第二问我们首先通过第一问得到的f（k）表达式，通过均值不等式就可以得到f（k）的最小值

只要最小值大于等于x2-2tx-1/2在已知的t的区间上成立就可以了，然后我们通过移项会得到一个新的小于等于0的不等式，到了这里就得用个技巧反客为主。

解析：不好打上来，截图了，如果看不清楚或者又不理解可以hi我

题后反思：本体突破点就是在于巧妙地将恒成立问题转化为最值问题，并且灵活运用了反客为主的数学思想。高考中向量一般不会单考，都会以知识点的形式出现在其他题中，还有就是均值不等式是高考的常考点，最值问题与恒成立问题的转化关系也很重要，本题中一大亮点就是用到反客为主转换变量。

Answer 2

有几个类似的：
已知向量a,b,满足模a=模b=1，且模a-kb=√3模ka+b,其中k>0
当向量a·b取得最大值时，求实数λ,使得模a+λb的值最小，并对这一结果做出几何解释

|a-kb|=√3|ka+b|
则(a-kb)^2=3(ka+b)^2
因为 a^2=|a|^2=1,b^2=|b|^2=1
故: 1+k^2-2ka*b=3(k^2+1+2ka*b)
a*b=-(k^2+1)/4k≤ -2k/4k=-1/2
当且仅当 k=1时取等号。
即：当k=1时，a*b取得最大值-1/2。
此时：a*b=|a||b|cosφ=cosφ=-1/2,φ=120度
|a+λb|^2=1+λ^2+2λa*b=λ^2-λ+1=(λ-1/2)^2+3/4
故当λ=1/2时，|a+λb|的最小值是√3/2.

作图可知：其几何意义是：向量a的终点与向量b所在的直线上的点的连线中，a的终点到该直线的距离最短。

设向量a=(cosα,sinα),b=（cosβ,sinβ)，且a、b满足
|ka+b|=3^|a-kb|(k为正实数)
⑴求证：（a+b）⊥(a-b)
⑵设a与b的数量积表示为关于k的函数f(k),求f(k)
⑶求函数f(k)的最小值及取得最小值时a与b的夹角

设向量a=(cosα,sinα),b=（cosβ,sinβ)，且a、b满足
|ka+b|=3^|a-kb|(k为正实数)

⑴求证：（a+b）⊥(a-b)
证明：显然 |a| = |b| = 1
所以 |a|² = |b|²
即 a² = b²
即 a² - b² = 0
即 (a+b) * (a-b) = 0
故 a+b ⊥ a-b

⑵设a与b的数量积表示为关于k的函数f(k),求f(k)
由 |ka+b| = 3*|a-kb|
得 |ka+b|² = 9*|a-kb|²
即 k²a² + 2ka*b + b² = 9a² - 18ka*b + 9k²b²
即 k² + 2ka*b + 1 = 9 - 18ka*b + 9k²
20ka*b = 8k² + 8
a*b = 2(8k²+1)/(5k)
即 f(k) = (2/5)(k + 1/k)

⑶求函数f(k)的最小值及取得最小值时a与b的夹角
显然当 k=1 时，f(k) 取得最小值 ：4/5
此时 a*b=4/5
又因为 |a| = |b| = 1
所以 cos<a,b> = (a*b)/(|a||b|) = 4/5
所以 <a,b> = arccos(4/5)

Answer 3

第一问：
a和b的模都是1，所以a^2和b^2都等于1，把这个算式两边平方：
k^2+1+2kab=3+3k^2-6kab
k^2+1=4kab
ab=(k^2+1)/4k,

第二问：
(k^2+1)/4k>=x^2-1/2-2tx
也就是说右边的式子要小于左边式子的最小值
左边=k/4+1/4k>=2根号（k/4*1/4k）=1/2
当且仅当k/4=1/4k时，k=1时取等号
也就是x^2-1/2-2tx的最大值要小于等于1/2
设y=x^2-1/2-2tx这个二次函数开口向上，而且开口大小不变，
对称轴为t，t在-1到1之间，所以y=(x-t)^2-t^2-1/2,y对称轴的地方取之小于0，对应图形，应该是在t取-1和1的时候，分别对应了x的范围的边界。
t=1时，x最大值=根号2-1
t=-1时，x最小值=1-根号2

考点：
向量的基本知识和概念
平均值不等式
二次函数、数形结合

Answer 4

考察向量的应用、函数中的恒成立问题等。
1.向量模相等的应用之一就是两边平方。又a,b的模均为1 ，两边平方后化简就可得到答案。
2.双参数问题，首先搞清楚k和x是参数而t才是变量。恒成立表示右边小于左边的最小值，由基本不等式可求左边最小值为1/2。看清右边其实是一个一次函数，只要端点值代入时小于等于1/2即满足恒成立。解一元二次方程就得到答案。
主要是分清参数和变量，了解恒成立的含义。
仅供参考

Answer 5

(1)将等式两边平方立刻解出（1）的答案，a、b的平方都等于1
（2）用导数求出f(k)的最小值，即f'(k)=0，那么x的取值范围就很明显了。

Answer 6

第一问:
这道题的知识点是考查对于摸得认识.|a|的平方=1(电脑技巧不是很好,凑合凑合)
对于f(k)=a.b是关于k的解析式.观察题目只有|ka+b|=根号3|a-kb|才是关于k a b的关系,所以我们从这里入手.
1.对于根号,我们都应该去掉.所以两边同时平方.所以得到式子为
(ka+b)平方=3(a-kb)平方
2.然后去掉括号得到式子为
k2a2+2kab+b2=3[a2-2kab+k2b2] 注意"2"为平方的意思
3.再去中括号并且整理得 k2a2+b2=3a2-8kab+3k2b2 ....
4.题目中|a|=|b|=1，就可以知道|a|2=|b|2=1
5.所以3中的式子就化为k2+1=3-8kab+3k2
6. 这个时候看看要求的是式子有什么关键点.跟现在的式子有关联.
看到ab没?
7.对于上述式子,我们整理得8kab=2k2+2 ,再然后就把8k除过来.就得到ab=f(k)
8.得到答案啦.
9.总结看到摸要知道摸得平方.看到绝对值要去掉,所以要平方.观察式子跟题目的要求是怎么样的

第二问我计算不出,都忘记的7788了,但是老师教的口诀是.恒成立问题要转化为最值问题 你试试看吧 不好意思.但是我还是会想想的.想到再补充..
加油