Question

假设对于一切实数x,函数f(x)满足等式f'(x)=x^2+∫(0到x)f(t)dt,且f(0)=2

求f(x)

Answer 1

对等式求导，得：f"(x)=2x+f(x)
即解微分方程y"-y=2x
特征方程为r^2-1=0,得：r=1,-1
故y"-y=0的解为y1=C1e^x+C2e^(-x),
设特解为y*=ax+b,
代入微分方程得：-ax-b=2x,解得：a=-2,
b=0
即y"-y=2x的解为y=y1+y*=C1e^x+C2e^(-x)-2x
由f(0)=2,得：C1+C2=2
将x=0代入题目等式，得：f'(0)=0,
而f'(x)=C1e^x-C2e^(-x)-2,
则有C1-C2-2=0
联立解得：C1=2,
C2=0
因此f(x)=2e^x-2x

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示