Question

（高数2）无穷小乘有界量时,有界函数可以用等价无穷小替换么

如： Lim（x,y)→（0,0) （X^2+y^2)sin(1/xy) 中的sin（1/xy)能替换成1/xy 吗？ 替换与不替换的结果好像不一样， 如果不能，请说明原因。

Answer 1

不能换，等价无穷小替换的前提是变量是趋于某一常数的（一般是趋于0），例如说sinx和x是等价无穷小是在前提x趋于0下的，这个前提很重要，因为如果x是趋于无穷的，而此时sinx仍是有界的，所以x趋于无穷时，x和sinx就不是等价的。做等价无穷小替换时，函数形式和自变量趋于哪个值这两点缺一不可。相反的，如果把本题中的x,y都改为趋于无穷，那么sin(1/xy)就可以用1/xy替换了，你可以自己试试。