Question

已知函数f(x)=x^4-4x^3+ax^2-1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减。

（1）求a的值
（2）记g(x)=bx^2-1,若方程f(x)=g(x)的解集恰有3个元素，求b的取值范围。

Answer 1

第一问：
根据已知条件可知x=1是函数f(x)=x^4-4x^3+ax^2-1的拐点，也就是说函数f(x)的导数在x=1处值为零
即f(x)'=4x^3-12x^2+2ax=0
将x=1代入可得a=4

第二问：
根据f(x)=g(x)
写出x^4-4x^3+4x^2-1=bx^2-1
化简得x^4-4x^3+(4-b)x^2=0
提取x^2得x^2[x^2-4x+(4-b)] =0
x=0必然是一个解
那么其他的两个解应该由x^2-4x+(4-b)=0确定
问题转换为使x^2-4x+(4-b)=0有两个解时，b的取值范围
后面的问题就简单了吧
一元二次方程有双解的条件
(-4)*(-4)-4*1*(4-b)>0
解得b<0

Answer 2

1.0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减.f(1)是极值点。
f'(1)=0 4-12+2a=0 a=4
2.

Answer 3

解：（1）f′（x）=4x3-12x2+2ax，因为f（x）在[0，1]上递增，在[1，2]上递减，所以x=1是f（x）的极值点，
所以f′（1）=0，
即4×13-12×12+2a×1=0．
解得a=4，经检验满足题意，所以a=4．
（2）由f（x）=g（x）可得
x2（x2-4x+4-b）=0，
由题意知此方程有三个不相等的实数根，
此时x=0为方程的一实数根，则方程x2-4x+4-b=0应有两个不相等的非零实根，
所以△＞0，且4-b≠0，
即（-4）2-4（4-b）＞0且b≠4，
解得b＞0且b≠4，
所以所求b的取值范围是（0，4）∪（4，+∞）．