Question

已知函数f(x)=x^4-4x^3+ax^2-1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2]上单调递减

（1）求a的值（2）是否存在实数b，使得g（x）=bx^2-1的图象与函数f（x）的图象恰好有2个不同交点？若存在，求出实数b的值；若不存在，试说明理由

Answer 1

(1)由题可知，x=1是对称轴。
令x=1，f（x）=-1。
所以当x=2时，f（x）=-1。
将（2，-1）代入函数，解得 a=4。

（2）在g（x）中，令x=0，则g（x）=-1。说明g（x）与f（x）有一个交点（0，-1）。
令g（x）=f（x），则可得 x^2(x^2-4x+4-b)=0,
可得x^2=0,或x^2-4x+4-b=0.
因为恰好只有2个交点,且x1=0,故x^2-4x+4-b=0只有一个解.
当b=0时,解得x2=2.
所以b=0.

Answer 2

1:先求导得f'(x)=4x^2-12x^2-ax又由已知得x=1是函数的一个极值点，所以4-12-a=0，解得a=-8