Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是正三角形，且与底面垂直，E，F分别为PD，PA的

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAB是正三角形，且与底面垂直，E，F分别为PD，PA的中点，求多面体ABCDEF的体积。

Answer 1

这个不难计算：

首先因为四边形ABCD为正方形，且边长为2。

可得AB=BC=CD=DA=2

又因为△PAB为正三角形

所以AB=PA=PB=2

点E、F分别为PD、PA中点，且△PAB垂直于四方形ABCD

所以在△PAD中，PA垂直于DA，PD=2√2

连接EF，则EF平行于DA

可得PF=AF=1，PE=DE=√2

这是我们要计算四棱锥的体积，可以把它假想成一个底面为正三角形△PAB的三棱柱，如图

 将他一分为二（红色），刚好是三棱柱体积的一半，做点I、J；再用面PCD将它再去掉三棱锥C-BEI

连接BF、CE、CI，其中BF垂直于PA，CI垂直于DJ

现在来计算三棱锥C-BEI的体积：

EF=1/2DA=1，IF=DA=2，所以EI=1，

又AF=DI=1，所以底面积S1=1/2EI×ID=1/2×1×1=1/2

三棱锥V1=1/3S×CI=1/3×1/2×√3=1/6√3

所以六面体ABCDEF的体积V=1/2(1/2PA×FB×DA)-V1=1/2(1/2×2×√3×2)- 1/6√3=5/6√3