Question

高数：微分中值定理

求达人相助。最好写出比较详细的步骤。谢谢啦~~~

Answer 1

令f(x)=x^n+px+q，其导数f'(x)=nx^{n-1} + p
令f'(x)=0，可以得到x是-p/n的n-1个单位根。
如果n是偶数，n-1是奇数，这n-1个单位根中只有一个实根，n-1次根号下(-p/n)。
如果n是奇数，n-1是偶数，这n-1个单位根中有两个实根，正负n-1次根号下(|-p/n|)。
根据微分中值定理，就可以得到f的根的个数，因为任意两个f的根之间都有一个f'的根。所以f的根的个数最多比f'的根的个数多1。

Answer 2

设f(x)=x^n+px+q,求导后(n-1)x^(n-10+p=0只有一个或二个实数解,即f(x)最多只有一个或二个极值,故y=f(x)的图像与x轴最多只有一个或二个交点,(一个或二个与依奇偶)