Question

a,b,c是正数，求证a+b+c<=(a^2+b^2)/2c+(b^2+c^2)/2a+(a^2+c^2)/2b<=a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab

谢了
用柯西不等式
不行的话反正做出就行了
谢了

Answer 1

(一)右边的不等式(a²+b²)/(2c)+(b²+c²)/(2a)+(c²+a²)/(2b)≤(a³/bc)+(b³/ac)+(c³/ab)可用“排序原理”来证。不妨设a≥b≥c＞0.则有：a³≥b³≥c³＞0.且1/(bc)≥1/(ac)≥1/(ab)＞0.由“排序原理”可知：(a³/bc)+(b³/ac)+(c³/ab)≥(b³/bc)+(c³/ac)+（a³/ab)=(b²/c)+(c²/a)+(a²/b).且(a³/bc)+(b³/ca)+(c³/ab)≥(c³/bc)+(a³/ac)+(b³/ab)=(c²/b)+(a²/c)+(b²/a).将两不等式相加，整理即得右边不等式。（二）由√[2(x²+y²)]≥x+y.可得：√[2(a²+b²)]≥a+b,√[2(b²+c²)]≥b+c.√[2(c²+a²)]≥c+a.三式相加得：√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)≥(√2)(a+b+c).===>[√(a²+b²)+√(b²+c²)+√(c²+a²)]²≥2(a+b+c)².其次，由柯西不等式可知，[(2a)+(2b)+(2c)]×{[(b²+c²)/(2a)]+[(c²+a²)/(2b)]+[(a²+b²)/(2c)]}≥[√(b²+c²)+√(c²+a²)+√(a²+b²)]²≥2(a+b+c)².整理即得不等式左边。