Question

函数f(x)=|cos2x|+|cos2x|的值域为________。

求详细解答。
修改f(x)=|cos2x|+|cosx|

Answer 1

y=|cos2x|+|cosx|=|2cos²x-1|+|cosx|=|2|cosx|-²1|+|cosx|，
设|cosx|=t≥0, y=|2t²-1|+t,
①√2/2≤t≤1时，y=2t²-1+t=2(t+1/4)²-9/8
√2/2≤t≤1时函数单调递增，y∈[√2/2,2]
②0≤t≤√2/2时，y=1-2t²+t=-2(t-1/4)²+9/8，
此时t=1/4时,函数取得最大值9/8,
t=√2/2时，函数取得最小值√2/2. 所以y∈[√2/2,9/8]
综合①②知，函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为[√2/2,2].

Answer 2

可设t=cosx.则f(x)=|2t²-1|+|t|.(-1≤t≤1).可分四个部分讨论。[-1,-√2/2],[-√2/2,0],[0.√2/2],[√2/2,1].结论是，值域为[√2/2,2].